System liczbowy

System liczbowy

System liczbowy – zbiór reguł jednolitego zapisu i nazewnictwa liczb.

Do zapisywania liczb używa się skończonego zbioru znaków, zwanych cyframi, które można łączyć w dowolnie długie ciągi, otrzymując nieskończoną liczbę kombinacji.

Do systemów zaawansowanych należą:

- Addytywne, w których liczby tworzy się przez dodawanie kolejnych symboli i stąd ich nazwa (np. jeśli "X"=10,"V"=5,"I"=1 to XVI = 10+5+1 = 16). Systemem addytywnym dziesiątkowym był system egipski, w którym używano oddzielnych hieroglifów dla potęg dziesiątki aż do siódmej włącznie. Innym przykładem addytywnego systemu jest dobrze znany i wciąż stosowany rzymski system zapisywania liczb z podstawowymi wielokrotnościami 10 i 5; jego cyfry są I - 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M - 1000; jednak w tym systemie w niektórych przypadkach występuje odejmowanie, a nie tylko dodawanie.

- Pozycyjne, które posiadają symbole (cyfry) tylko dla kilku najmniejszych liczb naturalnych: 0, 1, 2, ..., , gdzie to tzw. podstawa systemu, która może być dowolną liczbą naturalną większą niż 1. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych pozycjach i są mnożone przez odpowiednią potęgę . W sytuacji, gdy dana potęga nie jest potrzebna do zapisu danej liczby, zostawia się w zapisie puste miejsce, lub częściej specjalny symbol. Współcześnie jest to cyfra 0. Na przykład liczbę 5004,3 w dziesiętnym systemie liczbowym (czyli systemie, którego podstawą jest 10) odczytuje się jako:

Do zaawansowanych sposobów zapisu liczb należą także:

- sześćdziesiątkowy system liczbowy.

- sytem Fibonacciego

- silnikowy system pozycyjny

- skośny system dwójkowy

Sześćdziesiątkowy system liczbowy – pozycyjny system liczbowy o podstawie 60. Był używany w Babilonie, i to już 1750 p.n.e., stąd dotarł do Europy. Babilończycy zapożyczyli system od Sumerów. Arabscy astronomowie używali w atlasach i tabelach zapisu przejętego od Ptolemeusza, który był oparty na ułamkach o podstawie sześćdziesiąt. Również europejscy matematycy używali początkowo tej konwencji przy operacjach na ułamkach (np. Fibonacci).

Obecnie układ sześćdziesiątkowy jest używany w związku z jednostkami czasu.Godzina dzieli się na 60 minut, minuta na 60 sekund. Również powszechnie spotyka się układ sześćdziesiątkowy przy podawaniu miar kątowych, a zwłaszczaszerokości i długości geograficznej. Historycznie stosowano zarówno dla jednostek czasu jak i kątów tercję – ¹/₆₀ część sekundy. Zaletą układu sześćdziesiątkowego jest podzielność liczby 60 przez 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 oraz 60. Ułamki mają wtedy formę liczb całkowitych. Dla przykładu, jeśli chcemy ułożyć rozkład jazdy autobusów, gdzie pojazd kursuje 3 razy w ciągu godziny otrzymamy praktyczne i wygodne liczby np.: 7⁰⁰, 7²⁰, 7⁴⁰, 8⁰⁰ itd. W układzie dziesiątkowym mielibyśmy zamiast tego 7,0; 7,333333333... itd.

Z układem sześćdziesiątkowym jest blisko powiązany dwunastkowy system liczbowy, a więc układ pozycyjny o podstawie 12.

System Fibonacciego to binarny, pozycyjny system liczbowy, w którym poszczególnym pozycjom odpowiadają kolejne liczby Fibonacciego.

W zapisie liczby nie używa się pierwszych dwóch liczb z ciągu Fibonacciego (czyli zera i pierwszej z dwóch występujących w nim jedynek). Zaczynającemu się od 1 ciągowi cyfr 0 i 1 (tylko takich się używa) a_na_n-1...a₂ odpowiada liczba a_n⋅F_n+a_n-1⋅F_n-1 + ... + a₂⋅F₂.

Na przykład liczba zapisana w systemie Fibonacciego jako 1000_F oznacza piątą liczbę w ciągu Fibonacciego czyli 5,

1000101_F = F₈+F₄+F₂ = 21+3+1 = 25
10010010_F = F₉+F₆+F₃ = 34+8+2 = 44

Taki sposób zapisu liczb nie byłby jednoznaczny (np. 100_F=11_F), więc dodaje się wymaganie, by kolejne dwie liczby nie były jednocześnie jedynkami (dwie jedynki zastępujemy jedną na wcześniejszym miejscu). W ten sposób otrzymujemy jednoznaczny zapis każdej liczby naturalnej.

Silniowy system pozycyjny – pozycyjny system liczbowy w którym mnożniki poszczególnych pozycji nie są definiowane przez potęgę pewnej liczby (podstawy), lecz silnię kolejnych liczb naturalnych (z zerem), a liczba cyfr używanych na n-tej pozycji wynosi n+1.

Przykład:

Stąd zapis silniowy np. liczby 4600 wygląda następująco:

Ze względu na to, iż na pozycji zerowej jest zawsze zero, istnieje odmiana bez tej pozycji, co nie wpływa na wartości zapisywanych liczb.

Zapis jest jednoznaczny, tzn. każdą liczbę naturalną można zapisać w tylko jeden sposób i każdy zapis oddaje dokładnie jedną wartość.

Skośny system dwójkowy, binarne liczby skośne, (skew binary numbers), to system liczbowy, w którym liczby są reprezentowane w podobny lecz nie identyczny sposób do liczb dwójkowych.

W systemie binarnym kolejne cyfry (0 lub 1, licząc od prawej - najmniej znaczących) odpowiadają kolejnym potęgom liczby 2 (jest to system pozycyjny z bazą 2). Tak więc cyfra 1 na pozycji -tej od prawej (zaczynając numerację od 0), odpowiada liczbie 2ⁱ.